La semana pasada estuve trabajando en una presentación de diapositivas que la gente puede usar para presentar el concepto del tren regional a audiencias que no son nerds del transporte, y una de las cosas que quería incluir, solo como un aparte, era un par de diapositivas que explican la "penalización de parada" y por qué es tan mala para el tren suburbano tradicional de transporte diésel como el que tenemos en Boston. Esto me llevó a una horrible madriguera de conejo durante la mayor parte de dos días, tratando de encontrar una expresión de forma cerrada que permitiera trazar comparaciones que mostraran la velocidad con el tiempo, o la distancia con el tiempo, o la velocidad con la distancia. Estoy bastante seguro de que en realidad existe tal solución, pero no pude encontrar una que pareciera creíble cuando la tracé, así que volví al punto de partida y escribí un simulador numérico simple que solo generaría los puntos de datos. Necesitaba hacer mis tramas en lugar de tratar de encontrar la fórmula general.
Al hacer esta simulación, hay tres regímenes diferentes que tenemos que considerar, que se derivan de diferentes límites (mecánicos, físicos o legales) en el sistema de trenes. A altas velocidades, existe un límite de velocidad reglamentario: el tren no puede ir más rápido que una cierta velocidad debido a las condiciones de la vía, los pasos a nivel o el tipo de sistema de señales que tiene. A bajas velocidades, los límites son mecánicos: los motores solo pueden aplicar tanta fuerza sin que las ruedas giren (o se rompa el eje, se rompan los engranajes o se quemen los devanados del motor). Sin embargo, entre estos dos regímenes, la ley física, la conservación de la energía, limita directamente la aceleración que se puede lograr. Cualquier tren tendrá la capacidad de generar (o extraer de baterías o cables aéreos) una cierta cantidad máxima de energía, e incluso sin tener en cuenta todas las pérdidas en el sistema (resistencia eléctrica, ineficiencia en los controladores de motor y los motores mismos, fricción , arrastre, etc.) esto limita la aceleración alcanzable. De hecho, a potencia constante, la ley de conservación nos dice que
.
Si asumimos que siempre desea que su tren acelere lo más rápido posible hasta que alcance el límite de velocidad (o hasta que tenga que reducir la velocidad para llegar a la siguiente estación), entonces
cuando estamos en este régimen de poder limitado, y
(dónde
es la fuerza máxima que el motor puede ejercer en la dirección de avance, denominada “esfuerzo de tracción”) cuando aún no ha alcanzado la potencia máxima. En ambas ecuaciones,
es la masa de todo el tren, incluyendo locomotoras, vagones, combustible y todos los pasajeros. Tenga en cuenta que en el régimen de energía limitada, la aceleración es una función de la velocidad; de hecho, es inversamente proporcional a la velocidad. La aceleración es la primera derivada de la velocidad, lo que significa que esta es una ecuación diferencial; afortunadamente es uno que tiene una solución, aunque como dije tuve problemas para resolver esto (porque nunca tomé Diff. Eq. en la universidad, lo más probable) y no pude descubrir cómo hacer la integración por partes, porque lo que realmente quiero calcular es la velocidad como una función detiempo, y luego integre eso para obtener la distancia recorrida como una función del tiempo. Pero para aclarar las cosas, aquí hay un gráfico que muestra los tres regímenes diferentes para tres configuraciones de tren diferentes que configuré en mi modelo numérico.
Las tres configuraciones de tren modeladas son dos trenes con 500 pasajeros, todos sentados, uno con mi EMU articulada favorita (Unidad Múltiple Eléctrica), el Stadler FLIRT, y otro con una locomotora diésel del tipo que usa MBTA y tres vagones de dos niveles. y un tercer tren diésel con la misma locomotora pero con una composición de nueve coches y una carga aplastante de 1600 pasajeros (la carga más alta y el tren más largo que se opera actualmente en la MBTA). Supongo que todos los vagones son de dos niveles porque no tengo una fuente para la masa de un vagón de un solo nivel: en la operación real, se requiere al menos un vagón de un solo nivel en cada tren para accesibilidad.
Una cosa está muy clara: esa carga "monstruosa" de 1600 pasajeros es extremadamente lenta para acelerar. En la fórmula anterior, notarás que la masa del conjunto está en eldenominadorde la ecuación de aceleración, que es una consecuencia de la Segunda Ley de Newton (
). Naturalmente, cuanto más pesado es el tren, más lento puede acelerar, a menos que tenga una forma de agregar potencia de alguna manera. Con Múltiples Unidades, ustedhacertienen una forma de agregar potencia: un solo tren FLIRT tiene dos motores eléctricos de 1000 kW, para una potencia total de 2 megavatios, y si junta dos FLIRTS, los cuatro motores funcionan juntos con una potencia del sistema de 4 megavatios. (Puede acoplar hasta tres, pero en la mayoría de los casos en los que desee tantos asientos, debería utilizar trenes más frecuentes). no importa cuántos autos acoples hasta el final. (Sí, eso significa que una locomotora diesel por sí sola podría acelerar más rápido que el tren eléctrico, porque pesa menos y tiene más potencia, ¡pero eso no ayuda a mover a los pasajeros!) Una cosa está clara: el tren pesado lleva excesivamente largo para alcanzar el límite de velocidad de 79 mi/h que he establecido en esta simulación. (En la Línea Providence, el límite de velocidad es de 125 mi/h, pero los trenes de Regional Rail que hacen paradas más frecuentes en las estaciones no alcanzarían esa velocidad, y no tendría sentido comprar trenes diseñados para ir tan rápido: 99 mi /h es fácilmente tan rápido como es útil en los trenes de cercanías.) Esto es aún más claro si observa la aceleración como una función dedistancia:
Mire ese tren pesado: se necesitan unos 4,5 kilómetros (más de 2¾ millas) para alcanzar el límite de velocidad típico en las líneas de cercanías actuales de MBTA. Recuerda, eso es solo aceleración; todavía tiene que desacelerar para la próxima parada de la estación, y si las estaciones están a menos de 9 km (5½ millas) de distancia, ese tren esnuncava a alcanzar la velocidad máxima permitida en la línea. Es por eso que el patrón de servicio actual favorece los expresos: si puede recorrer doce millas sin tener que detenerse o reducir la velocidad significativamente, no tiene que pagar esta "penalización por aceleración". (Esa es solo una parte de la "penalización de parada" completa: la otra parte es el tiempo real que el tren debe pasar detenido en una estación mientras los pasajeros suben y bajan, el "tiempo de permanencia". Regional Rail tiene como objetivo resolver ambos problemas en una vez con mejor diseño, EMU y embarque nivelado).
Otra forma de visualizar esto es mirar cuánto tiempo se tarda en recorrer una distancia determinada. El siguiente gráfico muestra las mismas tres configuraciones de trenes, pero el eje x es la distancia y el eje y es el tiempo, exactamente lo contrario de cómo verías normalmente este tipo de problema de física, pero muy útil cuando estás pensando sobre horarios de trenes:
El FLIRT de dos trenes alcanza primero el límite de velocidad, por razones obvias (tiene casi el doble de potencia), a unos 4500 pies de recorrido, y el tren diésel de tres vagones alcanza el límite de velocidad a unos 6500 pies; después de este punto, viajan a la misma velocidad y esas dos líneas son paralelas, separadas por unos 13 segundos, que es la ventaja residual del arranque más rápido del tren eléctrico. El diésel de nueve coches apenas alcanza el límite de velocidad por el lado derecho de la parcela, que se encuentra a una distancia de tres millas. Si asume que un tren puede desacelerar exactamente tan rápido como puede acelerar (lo cual no es irrazonable para el frenado dinámico o regenerativo, no estoy tan seguro de los frenos de fricción), entonces el diesel largo y pesado no debería detenerse más de una vez. cada seis millas o más, lo que está lejos de lo que hace ese tren actualmente, y es por eso que incluso los trenes "expresos" son bastante lentos (a menos que esté subiendo o bajando justo antes o después, respectivamente, del segmento expreso). En las partes internas de muchas de las líneas de cercanías, las estaciones están espaciadas mucho más juntas, tan solo una o dos millas, y en las líneas que no tienen paradas como esa ahora, esos son los lugares exactos donde Regional Rail prevéagregandoparadas de “relleno” para brindar un mejor servicio a las zonas residenciales y comerciales del núcleo urbano. (Idealmente, todos los trenes de Providence Line se detendrían tanto en Forest Hills como en Ruggles, por ejemplo, pero esto solo sería aceptable para los viajeros de Mansfield si la penalización de parada se mitigara de manera efectiva para que sus viajes no se alargaran).
El código para el simulador está enmi repositorio de GitHub, en el archivofísica.rb. La plataforma de diapositivas se publicará aquí una vez que termine de escribirla.
